DERIVADAS: ¿QUÉ ES LA DERIVADA?

Geométricamente es la pendiente de la recta tangente a un punto de una curva. Y en una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje "x" de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.

La función derivada se puede calcular sin dibujar la curva de f. En efecto, gracias a una propiedad geométrica de la tangente, se tiene la fórmula:

$f^\prime(x) = \lim_{h \to 0} \frac {f(x+h) - f(x)} {h}$

Por ejemplo, sea

$f\left(x\right) = x^2$

entonces:

$\begin{array}{rcl} f^\prime(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\\ &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 -x^2}{h}\\ &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}\\ &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}\\ &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} (2x + h)\\ &=& 2x \end{array}$